Pengertian Ukuran Variasi Dan Simpangan

UKURAN VARIANSI DAN SIMPANGAN BAKU

• Ukuran variansi atau dispersi adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya. Variansi juga juga adalah rata-rata hitung devisi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya.Variansi dapat dibedakan antara variansi populasi  dan variansi sampel.
• Pengukuranpenyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya.
  
   Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku.
   Rentangan (range)
  Range (rentangan) adalah jarak antara nilai data yang tertinggi dengannilai data yang terendah atau nilai tertinggi dikurangi nilai terendah.;
  Rumus : data tertinggi – data terendah 
  Contoh : data nilai UAS Statistika
  Kelas A : 90 80 70 90 70 100 80 50 75 70
  Kelas B : 80 80 75 95 75 70 95 60 85 60
  Langkah-langkah menjawab :
  Urutkan dulu kemudian dihitung rentangannya.
  Kelas A : 50 70 70 70 75 80 80 90 90 100
  Kelas B : 60 60 70 75 75 80 80 85 95
  Rentangan kelas A : 100 – 50 = 50
  Rentangan kelas B : 95 – 60 = 35
  
  

  Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku.

   Rentangan (range)

  Range (rentangan) adalah jarak antara nilai data yang tertinggi dengannilai data yang terendah atau nilai tertinggi dikurangi nilai terendah.;

  Rumus : data tertinggi – data terendah 

  Contoh : data nilai UAS Statistika

  Kelas A : 90 80 70 90 70 100 80 50 75 70

  Kelas B : 80 80 75 95 75 70 95 60 85 60

  Langkah-langkah menjawab :

  
  

  Urutkan dulu kemudian dihitung rentangannya.

  Kelas A : 50 70 70 70 75 80 80 90 90 100

  Kelas B : 60 60 70 75 75 80 80 85 95

  
  

  Rentangan kelas A : 100 – 50 = 50

  Rentangan kelas B : 95 – 60 = 35
  Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku.

   Rentangan (range)

  Range (rentangan) adalah jarak antara nilai data yang tertinggi dengannilai data yang terendah atau nilai tertinggi dikurangi nilai terendah.;

  Rumus : data tertinggi – data terendah 

  Contoh : data nilai UAS Statistika

  Kelas A : 90 80 70 90 70 100 80 50 75 70

  Kelas B : 80 80 75 95 75 70 95 60 85 60

  Langkah-langkah menjawab :

  
  

  Urutkan dulu kemudian dihitung rentangannya.

  Kelas A : 50 70 70 70 75 80 80 90 90 100

  Kelas B : 60 60 70 75 75 80 80 85 95

  
  

  Rentangan kelas A : 100 – 50 = 50

  Rentangan kelas B : 95 – 60 = 35

  
  Mengapa harus mempelajari dispersi?
  Mengetahi tentang informasi sebarannilai pada data-data untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai.oleh karna itu kita harus mempelajari langkah-langkah dan contohnya.
  
  
  ukuran variansi
  
  

   Ukuran Variansi yaitu Ukuran pemusatan (mean,median,modus) 

  sebagaimana yang telah di pelajari bahwa ukuran variansi hanya menitik beratkan kepada pusat data,tetapi tidak memberikan informasi mengenai sebaran nilai pada data tersebut.

  Ukuran pemusatan data
    adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil.^[1] Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua (populasi) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masing-masing anggota dari masing-masing anggota populasi atau masing-masing anggota data contoh.^[2]. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan.^[2]
  Ukuran pemusatan yang paling banyak digunakan adalah median, mean, dan modus.^[1]. Masing-masing dari ukuran pemusatan data tersebut memiliki kekurangan.^[1] Nilai tengah akan sangat dipengaruh nilai pencilan.^[1] Median terlalu bervariasi untuk dijadikan parameter populasi.^[1] Sedangkan modus hanya dapat diterapkan dalam data dengan ukuran yang besar.^[1]
  

   

  • Mean

  merupakan rata-rata hitung

  ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}}=\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}}$

  • Median

  merupakan nilai tengah setelah diurutkan

  bila ganjil maka terambil di tengah setelah diurutkan. bila genap terambil dua di tengah dibagi rata-rata setelah diurutkan

  ${\displaystyle Me=x_{\frac {n+1}{2}}}$ bila n ganjil

  ${\displaystyle Me={\frac {x_{\frac {n}{2}}+x_{{\frac {n}{2}}+1}}{2}}}$ bila n genap

  • Modus

  merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi

  terambil jumlahnya paling banyak setelah diurutkan

  • Kuartil

  merupakan membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak

  ${\displaystyle Q_{i}={\frac {i(n+1)}{4}}}$

  
  

  Data berkelompok

  Dalam data berkelompok terdiri dari tabel, diagram garis, diagram batang serta diagram lingkaran.
  

  • Mean

  
  

  ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+f_{3}x_{3}+\cdots +f_{n}x_{n}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+\cdots +f_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}x_{i}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}}$

  ${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}d_{i}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}}$

  ${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}u}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}})c}$

  
  

  keterangan

  1. ${\displaystyle f_{i}}$ = frekuensi untuk nilai i
  2. ${\displaystyle x_{i}}$ = data ke-i (untuk data tunggal) atau titik tengah rentang tertentu ke-i (data kelompok)
  3. ${\displaystyle x_{s}}$= titik tengah rataan sementara
  4. ${\displaystyle d_{i}}$ = panjang interval antar rentang tertentu pada ${\displaystyle x_{i}}$ (di atas ${\displaystyle x_{s}}$ bernilai min dan dibawah ${\displaystyle x_{s}}$ bernilai plus)
  5. u = bilangan bulat (jika ${\displaystyle x_{s}}$ maka u adalah nol. diatasnya min serta dibawahnya plus)
  6. c = panjang interval kelas

  • Median

  
  

  ${\displaystyle Me=L_{2}+({\frac {{\frac {n}{2}}-(\sum {f})_{2}}{f_{Me}}})c}$

  
  

  keterangan

  1. ${\displaystyle L_{2}}$ = tepi bawah kelas median
  2. n = banyak data
  3. ${\displaystyle (\sum {f})_{2}}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas median
  4. ${\displaystyle f_{Me}}$ = frekuensi kelas median
  5. c = panjang interval kelas

  • Modus

  
  

  ${\displaystyle Mo=L_{o}+({\frac {d_{1}}{d_{1}+d_{2}}})c}$

  keterangan
  

  1. ${\displaystyle L_{o}}$ = tepi bawah kelas modus
  2. ${\displaystyle d_{1}}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus
  3. ${\displaystyle d_{2}}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus
  4. c = panjang interval kelas

  • Kuartil

  
  

  ${\displaystyle Q_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{4}}-(\sum {f})_{i}}{f_{Q_{i}}}})c}$

  
  

  keterangan

  1. i = 1, 2 atau 3
  2. ${\displaystyle L_{i}}$ = tepi bawah kelas kuartil ke-i
  3. n = banyak data
  4. ${\displaystyle (\sum {f})_{i}}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
  5. ${\displaystyle f_{Q_{i}}}$ = frekuensi kelas kuartil ke-i
  6. c = panjang interval kelas

  • Desil

  
  

  ${\displaystyle D_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{10}}-(\sum {f})_{i}}{f_{D_{i}}}})c}$

  
  

  keterangan

  1. i = 1, 2, 3, ....., 9
  2. ${\displaystyle L_{i}}$ = tepi bawah kelas desil ke-i
  3. n = banyak data
  4. ${\displaystyle (\sum {f})_{i}}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
  5. ${\displaystyle f_{Q_{i}}}$ = frekuensi kelas desil ke-i
  6. c = panjang interval kelas

  • Persentil

  
  

  ${\displaystyle P_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{100}}-(\sum {f})_{i}}{f_{P_{i}}}})c}$

  
  

  keterangan

  1. i = 1, 2, 3, ....., 99
  2. ${\displaystyle L_{i}}$ = tepi bawah kelas persentil ke-i
  3. n = banyak data
  4. ${\displaystyle (\sum {f})_{i}}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
  5. ${\displaystyle f_{Q_{i}}}$ = frekuensi kelas persentil ke-i
  6. c = panjang interval kelas

  1. Mean (Rata-Rata)
  

  
  

  
  

  Mean merupakan rata-rata dari  sekumpulan data.

  
  

  Rata-rata atau mean dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh data dan membaginya dengan banyaknya data tersebut.

  
  

  
  

  
  

  media, dan modus pada data tunggal dapat dilihat pada tabel di bawah.

  
  

   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   Contoh:

  
  

  
  

  
  

  Data tunggal

  
  

  
  

  
  

  Apabila data dalam bentuk tunggal, seperti :

  
  

  
  

  
  

  6, 7, 8, 9, 6 ,7, 8, 9, 7, 8,

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  

  Maka rata-rata (mean) dapat dicari dengan cara :

  
  

  6 + 7 + 8 + 9 + 6  + 7 + 8 + 9 +7 + 8

  
  

  
  

  
  

  = 75/10

  
  

  = 7,5

  
  

  
  

  
  

  Itulah cara mencari rata-rata untuk data tunggal

  
  

  
  

  
  

  
  

  
  
  

  Sedangkan untuk data yang berbentuk kelompok rata-rata atau mean capat dicari menggunakan rumus :

  
  

  

  
  

  Keterangan : Fi = Frekuensi Kelas Xi = Nilai tengah kelas
  

  
  Sebenarnya data kelompok berasal dari data tunggal yang banyak frekuensinya. Namun, apabila disajikan dalam bentuk tunggal maka akan membingungkan bagi yang menulis dan membaca.
  Maka dibuatlah data dalam bentuk kelompok.
  Disarankan baca : Cara Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi atau Kelompok
  Dalam kasus ini sudah berbentuk data kelompok untuk contoh data kelompok mean, median, maupun modus.